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1. 均值不等式链
1.1 重要不等式: \forall a,b \in R, a^2 + b^2 \geq 2ab 当且仅当a=b 时,等号成立
1.2 均值不等式常见形式: 对于 a>0, b>0,c >0, 有 \begin{aligned} \dfrac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} &\leq \dfrac{a+b}{2} \leq \sqrt{\dfrac{a^2 +b^2}{2}} \\ \dfrac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c}} \leq \sqrt[3]{abc} &\leq \dfrac{a+b+c}{3} \leq \sqrt{\dfrac{a^2 +b^2+c^2}{3}}\leq \sqrt[3]{\dfrac{a^3 +b^3+c^3}{3}} \end{aligned} 当且仅当a=b=c 时,等号成立
1.3 n维形式: 假设 x_1,x_2, \cdots, x_n 都是正数, 有 \frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}}} \leq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leq \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n} \leq \sqrt{\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}{n}} \leq \sqrt[n]{\frac{x_{1}^{n}+\cdots+x_{n}^{n}}{n}}
当且仅当x_1=x_2 = \cdots = x_n 时,等号成立
1.4 加权的形式:
假设 \omega_i \geq 0 且\sum_{i=1}^n \omega_i = 1 (i=1,2,\cdots,n), 那么有 \sum_{i=1}^{n} w_ix_i \geq \prod_{i=1}^{n} x_i^{w_i} 当且仅当 x_1=x_2 = \cdots = x_n时, 等号成立.
常见加权的形式: \begin{aligned} \frac{a+b}{2} &\geq \sqrt{a} + \sqrt{b} \\ \frac{a+b+c}{3} &\geq \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} \end{aligned}
2. 柯西不等式
\begin{aligned} (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) &\geq (a_1b_1 + a_2b_2)^2 &\qquad\qquad \text{(二维形式)} \\ \\ (a_1^2 + a_2^2+a_3^2)(b_1^2 + b_2^2+b_3^3) &\geq (a_1b_1 + a_2b_2+a_3b_3)^2 &\qquad\qquad \text{(二维形式)} \\ \\ (a_1^2 + a_2^2+ \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) &\geq (a_1b_1 + a_2b_2+ \cdots + a_nb_n)^2 &\qquad\qquad \text{(n维形式)} \end{aligned} \label{cauchy-n}
当且仅当 \dfrac{a_{1}}{b_{1}}=\dfrac{a_{2}}{b_{2}}=\ldots=\dfrac{a_{n}}{b_{n}} 时,等号成立
3. 权方和不等式
对于\forall a_i>0, b_i >0, m >0, 有 \begin{aligned} \frac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{b_{2}} &\geqslant \frac{\left(a_{1}+a_{2}\right)^{2}}{b_{1}+b_{2}} & \quad \quad (二维形式)\\ \frac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{b_{2}} +\frac{a_{3}^{2}}{b_{3}} &\geqslant \frac{\left(a_{1}+a_{2} + a_{3}\right)^{2}}{b_{1}+b_{2}+b_{3}} & \quad \quad (三维形式)\\ \frac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+\cdots+\frac{a_{n}^{2}}{b_{n}} &\geqslant \frac{\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)^{2}}{b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}} & \quad (n维形式) \\ \\ \sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i}^{m+1}}{b_{i}^{m}} &\geq \frac{\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)^{m+1}}{\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}\right)^{m}} \quad& (更加一般的情形) \end{aligned} 当且仅当 \dfrac{a_{1}}{b_{1}}=\dfrac{a_{2}}{b_{2}}=\ldots=\dfrac{a_{n}}{b_{n}} 时,等号成立
经典不等式公式–简化版练习题
1. 赋值法比较大小
如果是选择题, 直接用赋值法来排除错误选项
例1. 不等式 \left|\dfrac{x-2}{x}\right|>\dfrac{x-2}{x} 的解集是（ ） A. (0,2) B. (-\infty, 0) C. (2,+\infty) D. (-\infty, 0) \cup(0,+\infty)
2. 不等式链
若题目中,可以看到 两个数和为常数, 或 两个数的平方和为常数 或者 两个数的积为常数, 可采用基本不等式
例1. 若 x, y 均为正数，且 \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=1 ，则 x y 的最大值为
例2. 若 x, y 是正数，则 \left(x+\dfrac{1}{2 y}\right)^{2}+\left(y+\dfrac{1}{2 x}\right)^{2} 的最小值是
例3. 设正实数 a 、 b 满足 a+b=1 ，则下列说法错误的是（ ）
A. \sqrt{a b} 有最大值 \dfrac{1}{2} B. \dfrac{1}{a+2 b}+\dfrac{1}{2 a+b} 有最小值 3
C. a^{2}+b^{2} 有最小值 \dfrac{1}{2} D. \sqrt{a}+\sqrt{b} 有最大值 \sqrt{2}
例4. \dfrac{4 x^{2}+9 y^{2}+12 x y}{x^{2}+y^{2}} 的最大值为? 答: 13
例5. 实数 a ， b 满足 a>0 ， b>0 ， a+b=4 ，则 \dfrac{a^{2}}{a+1}+\dfrac{b^{2}}{b+1} 的最小值是 (PS: 也可以用权方和不等式)
3. 乘1法
若题中出现如下情况之一, 则可采用乘1法
① ax + by = c ② \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{y} = c ③ ax + by = cxy (此形式,等价形式②)
例1. 若 a, b 均为正数， a+2 b=1 ，求 \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b} 的最小值为 (PS: 也可以用权方和不等式)
例2. 若正数 x, y 满足 2 x+y-3=0 ，则 \dfrac{x+2 y}{x y} 的最小值为
例3. 若 x, y 均为正数，满足 x+3 y=5 x y ，则 3 x+4 y 的最小值为
例4. 若 a, b 均为正数， \dfrac{2}{3 a+b}+\dfrac{1}{a+2 b}=4 ，那么 7 a+4 b 的最小值是 (可以换元,把分母看做 m 和n, 也可以用用权方和不等式)
例5. 已知 m \geq 0, n \geq 0 ，且 m+n=1 ，则 \dfrac{m^{2}}{m+2}+\dfrac{n^{2}}{n+1} 的最小值为
提示: 每个分式都是二次比一次形式, 可分别进行整理化简,然后再分析, 还可利用权方和不等式
4. 求ax+by 的最值问题
4.1 求ax+by 的最值问题且已知的条件 —- 有平方的形式
思路: 可以采用 凑平方,然后对乘积项利用均值不等式, 具体步骤如下:
- 凑平方,即把已知条件凑成平方, 即 (ax + by)^2 \pm d\cdot xy = c , 然后变形, 右边只保留xy的乘积项, 即: $(ax + by)^2 - c = dxy $
- 然后对乘积项使用均值不等式, 即 (ax + by)^2 - c = \dfrac{d}{ab} \cdot ax \cdot by \leq (\dfrac{ax+by}{2})^2
- 最后,利用换元令 t= (ax+by),去分析即可
例1. 若实数 x, y 满足 x^{2}+y^{2}+x y=1 ，则 x+y 的最大值为
例2. 若实数 x, y 满足 4 x^{2}+y^{2}-3 x y=1 ，则 2 x+y 的最大值为 答: 2\sqrt{2}
例3. 若实数 x, y 满足 x^{2}+4 y^{2}+x y=1 ，则 x+2 y 的最大值为
4.2 求ax+by 的最值问题且已知的条件 —- 无平方的形式
思路: 一般采用 因式分解 + 均值不等式. 若求 ax+by 的最值
① 因式分解: 则因式分解要分解成 (ax + c_1)(by+c_2) = c_3 的形式 (可以用待定系数法确定c_1,c_2,c_3的值)
② 在利用均值不等式, (ax + c_1) + (by+c_2) \geq 2 \sqrt{(ax + c_1) (by+c_2)} = 2\sqrt{c_3}
③ 进一步分析, 确定取等情况
例1. 设 x>\frac{1}{2}, y>1,2 x y-2 x-y=1 ，那么 2 x+y 的最小值为 答 2 + 2\sqrt{2}
例2. 设 x>0, y>0, x+2 y+2 x y=8 ，那么 x+2 y 的最小值为 答: 4
例3. 设 x, y \in R^{+}, 且 x y+2 x+y=4 ，那么 x+y 的最小值为
例4. 已知 x, y 均为正数，且 x+3 y+2 x y=4 ，则 3 x+2 y 的最小值是 答: \sqrt{66} - \dfrac{11}{2}
5. 消元法解不等式
消元法思路: 一般用x来表示y, 然后带入y进行消元
例1. 已知 2 x+3 y=12 ，且 x, y 均为正数，则 x y 的最大值为 (PS: 也可以直接用均值不等式)
例2. 已知 x, y 均为正数，且 x+3 y+2 x y=4 ，则 3 x+2 y 的最小值是
6 . 分式型函数求最值
形式1: 一次比一次 —– (PS: 暂时不讲)
形式2: 二次比一次, 一次比二次, 二次比二次
解题思路: (二次比二次 可以转为 一次比二次) 对于: (二次比一次) 对于(一次比二次) 第一步: 基本思路,配凑法, 也是配凑法 第二步: 把分子凑成分母的形式, 把分母凑成分子的形式, 第三步: 然后利用均值不等式去求解 然后利用均值不等式去求解
例1. 求 \dfrac{x^2 + 4x -3}{x-2} (x>2) 的最小值 例2 求\dfrac{x^2+x}{x-1} (x>1) 的最小值 答 2\sqrt{2} + 3
例3. 求\dfrac{x-3}{x^{2}- x+3}\left(x>3\right) 的最大值为 答 \dfrac{1}{11}
例4. 求\dfrac{x^{2}+2 x+3}{x^{2}+x+2} 的最大值 例5 : 求 \dfrac{x^2+1}{x^2-x+1}(x>0) 的最大值
7. 柯西不等式和权方和不等式
例1. 设 a, b \in R, 且 a^{2}+b^{2}=10 ，求 3 a+b 的最大值.
例2. 已知 x+y+z=1 ，且 x, y, z \in R^{+} (1) 求 \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} 的最小值
- 求 \dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}+\dfrac{25}{z} 的最小值
(3)求 x^2+2y^2+3z^2 的最小值.
例3. 设 x, y, z \in R ，若 2 x-3 y+z=3 ，则 x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2} 的最小值为
例4. 设 a, b, c 均为正数，且 a+b+c=9 ，则 \dfrac{4}{a}+\dfrac{9}{b}+\dfrac{16}{c} 的最小值为
例5. 设 a, b, c 均为正数，且 a+2 b+3 c=2 ，则 \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c} 的最小值 答: 18
双根号问题
例1. 求\sqrt{2 x-1}+\sqrt{5-2 x}\left(\frac{1}{2}<x<\frac{5}{2}\right) 的最大值为 答: 2\sqrt{2}
思路: 对于双根号问题. 可以用平方法或者柯西不等式, 注意根号要大于等于0
例2. 求4 \sqrt{x-2}+\sqrt{9-3 x} 的最大值
例3. 求5 \sqrt{x-1}+\sqrt{10-2 x} 的最大值.
例4. 设 x>0, y>0, x+y=3 ，则 \sqrt{x+1}+\sqrt{y+5} 的最大值为 答: 3\sqrt{2}
利用权方和不等式来证明
例1. 设 a, b, c 为正数且各不相等，求证: \dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}>\dfrac{9}{a+b+c}
例2. 若 a>b>c ，求证: \dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c} \geq \dfrac{4}{a-c}
权方和不等式
例1. 当0<x<1时,求 \dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{1-x} 的最小值
例2. 已知 x>0, y>0, 且 2x+y=1, 求 \dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y} 的最小值
例3. 求2x^2 + \dfrac{8}{x^2+1} 的最小值
例4. 已知 x, y>0 ，若 x+y=1 ，则 \dfrac{x^2+4}{x}+\dfrac{y^2+4}{y} 的最小值是
例5 已知 x>0, y>0, 且 x+y=1, 求 \dfrac{4}{x+1}+\dfrac{1}{y} 的最小值
例6. 已知正数 a, b 满足 a+b=1, 则 \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{8}{b^2} 的最小值为?
例7. 已知a, b >0, a+2 b=1, 求 \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{2}{b^2} 的最小值.